BLOQUE IX
EMPLEA LA ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN
La elipse es un lugar geométrico descrito por un conjunto de puntos tales que la suma de distancia a dos puntos fijos dados f y f (llamado foco), es siempre igual a una constante K es mayor a la distancia entre f y f.
Elementos geométricos básicos de una elipse
· Focos: son los dos puntos fijos solicitados por la definición de elipse y se denota por f y f.
· Centro: es el punto medio del segmento que une los focos y se denota por C.
· Eje focal: es la recta que pasa por F, C y F esta se denota por L.
· Vértices: son los puntos en donde la elipse corta al eje focal y se denotan por V y V.
· Eje normal: es la recta perpendicular al eje focal por el punto C, esta se denota por L.
· Eje menor: es el segmento de la recta determinado por la intersección de la elipse con el eje normal, a los extremos de este segmento los denotamos por B y B.
· Cuerda de la elipse: es cualquier segmento de recta que une dos puntos distintos sobre la elipse.
· Lado recto: es la cuerda de la elipse perpendicular a L y que pasa por un foco, es decir, toda la elipse tiene dos lados rectos, esta se denota por LR y sus extremos, para los focos.
Formulas
Ecuación ordinaria de la elipse con centro en el origen y con eje focal sobre el eje X, es decir, se trata para una elipse vertical.
= |
X2 + Y2 a b |
1 |
De manera similar, se puede deducir la ecuacion correspondiente con centro en el origen y eje focal sobre el eje Y, es decir horizontal
= |
X2 + Y2 b a |
1 |
Problemas
Ejemplo 1
Determina la ecuacion de la elipse con centro en el origen, eje sobre el eje X, longitud consta K = 10, y un foco con coordenadas (-3, 0).
Solucion
La ecuacion de la elipse es de la forma
X2 + Y2 a b |
1 |
= |
Por lo tanto, basta determinar las constantes a y b. como K = 2a entonces
a = 5, y la distancia del centro el foco es C = 3, de acuerdo a la coordenada del foco dado, asi de la rellacion a2 = b2 + c2, tenernos que b2 = a2 – c2 = 25 -9 = 16. Finalmente, tendremos que la ecuación es:
X2 + Y2 25 16 |
1 |
= |
Ejemplo 2
Determina la ecuacion de la elipse que tiene un foco en el punto (0, 4), un estremo de su eje menor en (2,0), y centro en el origen.
Solucion
Si tiene centro en el origen y su foco esta en Y, entonces su ecuacion es
= |
X2 + Y2 b a |
1 |
Como la distancia del centro al foco es C, entonces c = 4 la distancia del centro a un extremo del eje es menor es b, entonces b = 2, ademas, a2 = b2 + c2 , tenemos que a2 = b2 + c2 = 4 + 16 en onces la ecuacion de la elipse es
= |
X2 + Y2 4 20 |
1 |
IDENTIFICA LOS ELEMENTOS DE UNA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN Y EJES PARALELOS A LOS EJES CARTESIANOS.
ECUACION DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN
Eje sobre el eje X | Eje sobre el eje Y | |||||||
Ecuacion |
|
| ||||||
Coordenadas de los Focos | F´(-c, 0), F (c, 0) | F´(0, -c), F (0, c) | ||||||
Coordenadas de los vertices | V’ (-a, 0), V (a, 0) | V’ (0, -a), V (0, a) | ||||||
Extremos del eje menor | B’ (0, -b), B(0, b) | B’(-b, 0), B(b, 0) | ||||||
Extremo de los lados rectos | Para F’: L’1 (-c, -b2 /a), L1(-c, b2 /a). Para F’: L’2 (c, -b2 /a), L2(c, b2 /a). | Para F’: L’1 (-b2 /a, -c), L1( b2 /a, -c). Para F’: L’2 (-b2 /a, c), L2(b2 /a, c). |
Ejemplo 1
Si la ecuacion de una elipse con centro en el origen es
= |
X2 + Y2 9 4 |
1 |
Determina las coordenadas de sus focos, vertices, extremos de su eje menor y los extremos de sus lados rectos.
Solucion
A partir de la ecuacion, deducimos que el eje focal esta sobre el eje X, ademas, a2 = 9 y b2 = 4, entonces, a = 3 y b = 2. De la ecuacion a2 = b2 + c2 tenemos que
C2 = 9 – 4 = 5, asi, c = √5. De igual forma, tenemos que b2/a = 4/3. De estos valores encontrados tenemos las coordenadas.
focos | vertices | Extremos del eje menor | Extremos del lado recto por F’ | Extremos del lado recto por F. |
F’ (-√5, 0) F (√5, 0) | V’ (-3, 0) V (3, 0) | B’ (0, -2) B (0, 2) | L’1 (-√5, -4/3) L1 (-√5, 4/3) | L’2 (√5, -4/3) L2 (√5, 4/3) |
Ejemplo 2
Si la ecuacion de una elipse con centro en el origen es
= |
X2 + Y2 9 25 |
1 |
Determina las coordenadas de sus focos, vertices, extremos de su eje menor y los extremos de sus lados rectos.
Solucion
A partir de la ecuacion, deducimos que el eje focal esta sobre el eje Y, de aquí que a2 = 25 y b2 = 9, entonces, a = 3 y b = 2. De la ecuacion a2 = b2 + c2 tenemos que C2 = 25 – 9 = 16, asi, c = 4. De igual forma, tenemos que
b2/a = 9/5. De estos valores encontrados tenemos las coordenadas.
focos | vertices | Extremos del eje menor | Extremos del lado recto por F’ | Extremos del lado recto por F. |
F’ (0, -4) F (0, 4) | V’ (0, -5) V (0, 5) | B’ (-3, 0) B (3, 0) | L’1 (-9/5, -4) L1 (9/5, -4) | L’2 (-9/5, 4) L2 (9/5, 4) |
INTEGARANTES
JULIO CESAR CASTILLO
JESUS ENRIQUE VARGAS GUZMAN
